算法是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。通俗点说，就是计算机解题的过程。在这个过程中，无论是形成解题思路还是编写程序，都是在实施某种算法。前者是推理实现的算法，后者是操作实现的算法。
一个算法应该具有以下五个重要的特征：
1.有穷性： 一个算法必须保证执行有限步之后结束；
2.确切性： 算法的每一步骤必须有确切的定义；
3.输入：一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况；
4.输出：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的；
5.可行性： 算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次运算后即可完成。
合并排序（MERGE SORT）是又一类不同的排序方法，合并的含义就是将两个或两个以上的有序数据序列合并成一个新的有序数据序列，因此它又叫归并算法。它的基本思想就是假设数组A有N个元素，那么可以看成数组A是又N个有序的子序列组成，每个子序列的长度为1，然后再两两合并，得到了一个 N/2 个长度为2或1的有序子序列，再两两合并，如此重复，值得得到一个长度为N的有序数据序列为止，这种排序方法称为2―路合并排序。
例如数组A有7个数据，分别是： 49 38 65 97 76 13 27，那么采用归并排序算法的操作过程如图7所示：
初始值 [49] [38] [65] [97] [76] [13] [27]
看成由长度为1的7个子序列组成
第一次合并之后 [38 49] [65 97] [13 76] [27]
看成由长度为1或2的4个子序列组成
第二次合并之后 [38 49 65 97] [13 27 76]
看成由长度为4或3的2个子序列组成
第三次合并之后 [13 27 38 49 65 76 97]
图6 归并排序算法过程图
合并算法的核心操作就是将一维数组中前后相邻的两个两个有序序列合并成一个有序序列。合并算法也可以采用递归算法来实现，形式上较为简单,但实用性很差。
合并算法的合并次数是一个非常重要的量,根据计算当数组中有3到4个元素时,合并次数
是2次,当有5到8个元素时,合并次数是3次,当有9到16个元素时,合并次数是4次，按照这一规律，当有N个子序列时可以推断出合并的次数是
X（2>=N,符合次条件的最小那个X）。
冒泡算法描述：
在解释冒泡排序算法之前，先来介绍把10个数（放在数组A中）中最大的那个数放在最后位置上的一种算法。算法描述如下：
（1）从数组A[1]到A[10]，把相临的两个数两两进行比较。即A[1]和A[2]比较，比较完后A[2]再与A[3]比较，……最后是A[9]和A[10]比较。
(2)在每次进行比较的过程中，如果前一个数比后一个数大，则对调两个数，也就是说把较大的数调到后面，较小的调到前面。比如在第一次的比较中，如果A[1]比A[2]大则A[1]和A[2]的值就互换。下图用6个数据来说明以上的算法。
假设6个数据是：A[]=5 7 4 3 8 6
A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6]
5 7 4 3 8 6 第一次，A[1]=5和A[2]=7比较，7>5，不进行对调。
5 7 4 3 8 6 第二次，A[2]=7和A[3]=4比较，4<7，进行对调，
那么第二次比较完后的数据是5 4 7 3 8 6
5 4 7 3 8 6 第三次，A[3]=7和A[4]=3比较，3<7，进行对调，
那么第三次比较完后的数据是5 4 3 7 8 6
5 4 3 7 8 6 第四次，A[4]=7和A[5]=8比较，8>7,不进行对调。
5 4 3 7 8 6 第五次，A[6]=6和A[5]=8比较，6<8，进行对调，
那么第五次也就是最后一次的结果是
5 4 3 7 6 8
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选择排序算法描述：
在介绍选择排序法之前先介绍一种把最小的数放在第一个位置上的算法，当然也可以用前面所讲的冒泡排序法，现在我们改用一种新的算法：其指导思想是先并不急于调换位置，先从A[1]开始逐个检查，看哪个数最小就记下该数所在的位置P，等一躺扫描完毕，再把A[P]和A[1]对调，这时A[1]到A[10]中最小的数据就换到了最前面的位置。算法的步骤如下：
1）、先假设A[1]中的数最小，记下此时的位置P=1；
2）、依次把A[P]和A[I]（I从2变化到10）进行比较，每次比较时，若A[I]的数比A[P]中的数小，则把I的值赋给P，使P总是指向当前所扫描过的最小数的位置，也就是说A[P]总是等于所有扫描过的数最小的那个数。在依次一一比较后，P就指向10个数中最小的数所在位置，即A[P]就是10个数中最小的那个数；
3）把A[P]和A[1]的数对调，那么最小的数就在A[1]中去了，也就是在最前面了。
如果现在重复此算法，但每重复一次，进行比较的数列范围就向后移动一个位置。即第二遍比较时范围就从第2个数一直到第N个数，在此范围内找最小的数的位置P，然后把A[P]与A[2]对调，这样从第2个数开始到第N个数中最小数就在A[2]中了，第三遍就从第3个数到第N个数中去找最小的数，再把A[P]与A[3]对调……此过程重复N-1次后，就把A数组中N个数按从小到大的顺序排好了。这种排序的方法就是选择排序法
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插入排序算法描述：
通过学习上述两种方法可以了解排序的基本思想，也可以对任何一个无序数组作出从大到小（降序）或从小到大（升序）的排列。现在假设有一个已经有序的数据序列，要求在这个已经排好的数据序列中插入一个数，但要求插入后此数据序列仍然有序，这个时候就要用到一种新的排序方法――插入排序法,插入排序的基本操作就是将一个数据插入到已经排好序的有序数据中,从而得到一个新的、个数加一的有序数据。
题目：A数组中有N个数据，按从小到大的顺序排列，输入一个数X，把X的值插入到数组A中，使得插入后的A数组仍然按从小到大排列。
那么这个问题的解决算法就是：
1）、通过比较大小找到X应插入的位置，假如应该放在第I个位置；
2）、把从I开始的（包括I）的所有数组元素依次向后移动一个位置，即A[I+1]：=A[I]；
快速排序是对冒泡排序的一种改进。它的基本思想是：通过一躺排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一不部分的所有数据都要小，然后再按次方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。
假设要排序的数组是A[1]……A[N]，首先任意选取一个数据（通常选用第一个数据）作为关键数据，然后将所有比它的数都放到它前面，所有比它大的数都放到它后面，这个过程称为一躺快速排序。一躺快速排序的算法是：
1）、设置两个变量I、J，排序开始的时候I：=1，J：=N；
2）以第一个数组元素作为关键数据，赋值给X，即X：=A[1]；
3）、从J开始向前搜索，即由后开始向前搜索（J：=J-1），找到第一个小于X的值，两者交换；
4）、从I开始向后搜索，即由前开始向后搜索（I：=I+1），找到第一个大于X的值，两者交换；
5）、重复第3、4步，直到I=J；
例如：待排序的数组A的值分别是：（初始关键数据X：=49）
A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7]：
49 38 65 97 76 13 27
进行第一次交换后： 27 38 65 97 76 13 49
( 按照算法的第三步从后面开始找
进行第二次交换后： 27 38 49 97 76 13 65
( 按照算法的第四步从前面开始找>X的值，65>49,两者交换，此时I：=3 )
进行第三次交换后： 27 38 13 97 76 49 65
( 按照算法的第五步将又一次执行算法的第三步从后开始找
进行第四次交换后： 27 38 13 49 76 97 65
( 按照算法的第四步从前面开始找大于X的值，97>49,两者交换，此时J：=4 )
此时再执行第三不的时候就发现I=J，从而结束一躺快速排序，那么经过一躺快速排序之后的结果是：27 38 13 49 76 97 65，即所以大于49的数全部在49的后面，所以小于49的数全部在49的前面。
快速排序就是递归调用此过程――在以49为中点分割这个数据序列，分别对前面一部分和后面一部分进行类似的快速排序，从而完成全部数据序列的快速排序，最后把此数据序列变成一个有序的序列，根据这种思想对于上述数组A的快速排序的全过程如图6所示：
初始状态 {49 38 65 97 76 13 27}
进行一次快速排序之后划分为 {27 38 13} 49 {76 97 65}
分别对前后两部分进行快速排序 {13} 27 {38}
结束 结束 {49 65} 76 {97} 49 {65} 结束
结束
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图6 快速排序全过程
快速排序的算法描述
1）、设有N（假设N=10）个数，存放在S数组中；
2）、在S[1。。N]中任取一个元素作为比较基准，例如取T=S[1]，起目的就是在定出T应在排序结果中的位置K，这个K的位置在：S[1。。K-1]<=S[K]<=S[K+1..N]，即在S[K]以前的数都小于S[K]，在S[K]以后的数都大于S[K]；
3）、利用分治思想（即大化小的策略）可进一步对S[1。。K-1]和S[K+1。。N]两组数据再进行快速排序直到分组对象只有一个数据为止。
如具体数据如下，那么第一躺快速排序的过程是：
数组下标： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
45 36 18 53 72 30 48 93 15 36
I J
（1） 36 36 18 53 72 30 48 93 15 45
（2） 36 36 18 45 72 30 48 93 15 53
（3） 36 36 18 15 72 30 48 93 45 53
（4） 36 36 18 15 45 30 48 93 72 53
（5） 36 36 18 15 30 45 48 93 72 53