演算法是在有限步驟內求解某一問題所使用的一組定義明確的規則。通俗點說，就是電腦解題的過程。在這個過程中，無論是形成解題思路或編寫程序，都是在實作某種演算法。前者是推理實現的演算法，後者是操作實現的演算法。
一個演算法應該具有以下五個重要的特徵：
1.有窮性： 演算法必須保證執行有限步驟之後結束；
2.確切性： 演算法的每一步都必須有確切的定義；
3.輸入：一個演算法有0個或多個輸入，以刻畫運算物件的初始情況；
4.輸出：一個演算法有一個或多個輸出，以反映輸入資料加工後的結果。沒有輸出的演算法是毫無意義的；
5.可行性： 演算法原則上能夠精確地運行，而且人們用筆和紙做有限次運算後即可完成。
合併排序（MERGE SORT）是另一類不同的排序方法，合併的意義就是將兩個或兩個以上的有序資料序列合併成一個新的有序資料序列，因此它又叫歸併演算法。它的基本思想就是假設數組A有N個元素，那麼可以看成數組A是又N個有序的子序列組成，每個子序列的長度為1，然後再兩兩合併，得到了一個N/2個長度為2或1的有序子序列，再兩兩合併，如此重複，值得得到一個長度為N的有序資料序列為止，這種排序方法稱為2―路合併排序。
例如數組A有7個數據，分別是： 49 38 65 97 76 13 27，那麼採用歸併排序演算法的操作過程如圖7所示：
初始值[49] [38] [65] [97] [76] [13] [27]
看成由長度為1的7個子序列組成第一次合併之後[38 49] [65 97] [13 76] [27]
看成由長度為1或2的4個子序列組成第二次合併之後[38 49 65 97] [13 27 76]
看成由長度為4或3的2個子序列組成第三次合併之後[13 27 38 49 65 76 97]
圖6 歸併排序演算法過程圖合併演算法的核心操作就是將一維數組中前後相鄰的兩個兩個有序序列合併成一個有序序列。合併演算法也可以採用遞歸演算法來實現，形式上較為簡單,但實用性很差。
合併演算法的合併次數是一個非常重要的量,根據計算當數組中有3到4個元素時,合併次數是2次,當有5到8個元素時,合併次數是3次,當有9到16個元素時,合併次數是4次，依此規律，當有N個子序列時可以推論出合併的次數是
X（2>=N,符合次條件的最小那個X）。
冒泡演算法描述：
在解釋冒泡排序演算法之前，先來介紹把10個數（放在陣列A中）中最大的那個數放在最後位置上的一種演算法。演算法描述如下：
（1）從數組A[1]到A[10]，把相臨的兩個數兩兩做比較。即A[1]和A[2]比較，比較完後A[2]再與A[3]比較，…最後是A[9]和A[10]比較。
(2)在每次進行比較的過程中，如果前一個數比後一個數大，則對調兩個數，也就是說把較大的數調到後面，較小的調到前面。例如在第一次的比較中，如果A[1]比A[2]大則A[1]和A[2]的值就互換。下圖用6個數據來說明以上的演算法。
假設6個資料是：A[]=5 7 4 3 8 6
A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6]
5 7 4 3 8 6 第一次，A[1]=5和A[2]=7比較，7>5，不進行對調。
5 7 4 3 8 6 第二次，A[2]=7和A[3]=4比較，4<7，進行對調，
那麼第二次比較完後的數據是5 4 7 3 8 6
5 4 7 3 8 6 第三次，A[3]=7和A[4]=3比較，3<7，進行對調，
那麼第三次比較完後的數據是5 4 3 7 8 6
5 4 3 7 8 6 第四次，A[4]=7和A[5]=8比較，8>7,不進行對調。
5 4 3 7 8 6 第五次，A[6]=6和A[5]=8比較，6<8，進行對調，
那麼第五次也就是最後一次的結果是
5 4 3 7 6 8
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選擇排序演算法描述：
在介紹選擇排序法之前先介紹一種把最小的數放在第一個位置上的演算法，當然也可以用前面所講的冒泡排序法，現在我們改用一種新的演算法：其指導思想是先不急於調換位置，先從A[1]開始逐一檢查，看哪個數最小就記下該數所在的位置P，等一躺掃描完畢，再把A[P]和A[1]對調，這時A[1]到A[10]中最小的數據就換到了最前面的位置。演算法的步驟如下：
1）、先假設A[1]中的數最小，記下此時的位置P=1；
2）、依序把A[P]和A[I]（I從2變化到10）進行比較，每次比較時，若A[I]的數比A[P]中的數小，則把I的值賦給P，使P總是指向目前所掃描過的最小數的位置，也就是說A[P]總是等於所有掃描過的數最小的那個數。在依序一一比較後，P就指向10個數中最小的數所在位置，即A[P]就是10個數中最小的那個數；
3）把A[P]和A[1]的數對調，那麼最小的數就在A[1]中去了，也就是在最前面了。
如果現在重複此演算法，但每重複一次，進行比較的數列範圍就會向後移動一個位置。即第二遍比較時範圍就從第2個數一直到第N個數，在此範圍內找最小的數的位置P，然後把A[P]與A[2]對調，這樣從第2個數開始到第N個數中最小數就在A[2]中了，第三遍就從第3個數到第N個數中去找最小的數，再把A[P]與A[ 3]對調…這個過程重複N-1次後，就把A數組中N個數按從小到大的順序排好了。這種排序的方法就是選擇排序法
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插入排序演算法描述：
透過學習上述兩種方法可以了解排序的基本思想，也可以對任何一個無序數組作出從大到小（降序）或從小到大（升序）的排列。現在假設有一個已經有順序的資料序列，要求在這個已經排好的資料序列中插入一個數，但要求插入後此資料序列仍然有序，這個時候就要用到一種新的排序方法――插入排序法,插入排序的基本操作就是將一個資料插入到已經排好序的有序資料中,從而得到一個新的、個數加一的有序資料。
題目：A數組中有N個數據，按從小到大的順序排列，輸入一個數X，把X的值插入到數組A中，使得插入後的A數組仍然按從小到大排列。
那麼這個問題的解決演算法就是：
1）、透過比較大小找到X要插入的位置，假如應該放在第I個位置；
2）、把從I開始的（包括I）的所有陣列元素依序向後移動一個位置，即A[I+1]：=A[I]；
快速排序是對冒泡排序的一種改進。它的基本想法是：透過一躺排序將要排序的資料分割成獨立的兩部分，其中一部分的所有資料都比另外一不部分的所有資料都要小，然後再按次方法對這兩部分資料分別進行快速排序，整個排序過程可以遞歸進行，以此達到整個資料變成有序序列。
假設要排序的陣列是A[1]……A[N]，首先任意選取一個資料（通常選用第一個資料）作為關鍵數據，然後將所有比它的數都放到它前面，所有比它大的數都放到它後面，這個過程稱為一躺快速排序。一躺快速排序的演算法是：
1）、設定兩個變數I、J，排序開始的時候I：=1，J：=N；
2）以第一個陣列元素作為關鍵數據，賦值給X，即X：=A[1]；
3）、從J開始向前搜索，即從後開始向前搜索（J：=J-1），找到第一個小於X的值，兩者交換；
4）、從I開始向後搜索，即由前開始向後搜索（I：=I+1），找到第一個大於X的值，兩者交換；
5）、重複第3、4步，直到I=J；
例如：待排序的陣列A的值分別是：（初始關鍵資料X：=49）
A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7]：
49 38 65 97 76 13 27
進行第一次交換後： 27 38 65 97 76 13 49
( 依照演算法的第三步從後面開始找進行第二次交換後： 27 38 49 97 76 13 65
( 依照演算法的第四步從前面開始找>X的值，65>49,兩者交換，此時I：=3 )
進行第三次交換後： 27 38 13 97 76 49 65
( 依照演算法的第五步將又一次執行演算法的第三步從後開始找進行第四次交換後： 27 38 13 49 76 97 65
( 依照演算法的第四步從前面開始找大於X的值，97>49,兩者交換，此時J：=4 )
此時再執行第三不的時候就發現I=J，從而結束一躺快速排序，那麼經過一躺快速排序之後的結果是：27 38 13 49 76 97 65，即所以大於49的數全部在49的後面，所以小於49的數全部在49的前面。
快速排序就是遞歸呼叫此過程――在以49為中點分割這個資料序列，分別對前面一部分和後面一部分進行類似的快速排序，從而完成全部資料序列的快速排序，最後把這個資料序列變成一個有序的序列，根據這種思想對於上述數組A的快速排序的全過程如圖6所示：
初始狀態{49 38 65 97 76 13 27}
進行一次快速排序之後分割為{27 38 13} 49 {76 97 65}
分別對前後兩部分進行快速排序{13} 27 {38}
結束結束{49 65} 76 {97} 49 {65} 結束結束
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圖6 快速排序全過程快速排序的演算法描述
1）、設有N（假設N=10）個數，存放在S數組中；
2）、在S[1。 。 N]中任取一個元素作為比較基準，例如取T=S[1]，起目的就是在定出T應在排序結果中的位置K，這個K的位置在：S[1。 。 K-1]<=S[K]<=S[K+1..N]，也就是在S[K]以前的數都小於S[K]，在S[K]以後的數都大於S[ K]；
3）、利用分治思想（即大化小的策略）可進一步對S[1。 。 K-1]和S[K+1。 。 N]兩組資料再進行快速排序直到分組物件只有一個資料為止。
如具體數據如下，那麼第一躺快速排序的過程是：
數組下標： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
45 36 18 53 72 30 48 93 15 36
IJ
（1） 36 36 18 53 72 30 48 93 15 45
（2） 36 36 18 45 72 30 48 93 15 53
（3） 36 36 18 15 72 30 48 93 45 53
（4） 36 36 18 15 45 30 48 93 72 53
（5） 36 36 18 15 30 45 48 93 72 53