Krylov.jl
v0.9.8
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작업에 Krylov.jl 사용하는 경우 CITATION.cff 에 제공된 메타데이터를 사용하여 인용하세요.
@article{montoison-orban-2023,
author = {Montoison, Alexis and Orban, Dominique},
title = {{ Krylov.jl : A Julia basket of hand-picked Krylov methods}},
journal = {Journal of Open Source Software},
volume = {8},
number = {89},
pages = {5187},
year = {2023},
doi = {10.21105/joss.05187}
}이 패키지는 다양한 문제에 대해 가장 유용한 Krylov 방법의 구현을 제공합니다.
정사각형 또는 직사각형 풀 랭크 시스템
도끼 = b
b 가 A 의 범위 공간에 있을 때 풀어야 합니다. 이 상황은 다음과 같은 경우에 발생합니다.
A는 정사각형이고 비단수형입니다.
A 는 키가 크고 전체 열 순위를 가지며 b 는 A 범위에 있습니다.
선형 최소제곱 문제
최소화 `` b - Ax ``
A 의 모양과 순위에 관계없이 b가 A 의 범위(일관되지 않은 시스템)에 있지 않을 때 해결해야 합니다. 이 상황은 주로 다음과 같은 경우에 발생합니다.
A는 정사각형이고 단수형입니다.
A는 키가 크고 말랐습니다.
부족 결정 시스템은 덜 일반적이지만 발생하기도 합니다.
그러한 x가 무한히 많은 경우( A 는 열 순위가 부족하기 때문에) 최소 노름을 갖는 것이 식별됩니다.
x ∈ argmin ʼ b - Ax ʼ에 따라 ʼ x ʼ를 최소화합니다.
선형 최소 정규 문제
Ax = b 에 따라 ʼ x ʼ 최소화
A 는 열 순위가 부족하지만 b는 A 의 모양에 관계없이 A (일관된 시스템) 범위에 있는 경우 해결해야 합니다. 이 상황은 주로 다음과 같은 경우에 발생합니다.
A는 정사각형이고 단수형입니다.
A는 짧고 넓습니다.
과결정 시스템은 덜 일반적이지만 발생하기도 합니다.
인접 시스템
Ax = b 및 Aᴴy = c
여기서 A는 어떤 모양이든 가질 수 있습니다.
새들 포인트 및 에르미트 준정부호 시스템
[ M A ] [ x ] = [ b ]
[ Aᴴ -N ] [ y ] [ c ]
여기서 A는 어떤 모양이든 가질 수 있습니다.
일반화된 새들 포인트 및 비 에르미트 파티션 시스템
[ M A ] [ x ] = [ b ]
[ B N ] [ y ] [ c ]
여기서 A는 어떤 모양이든 가질 수 있고 B는 Aᴴ 모양을 갖습니다. A , B , b 및 c 는 모두 0이 아니어야 합니다.
Krylov 솔버는 이러한 문제를 해결해야 하지만 다음과 같은 이유로 인수분해가 불가능한 상황에 특히 적합합니다.
A는 명시적으로 사용할 수 없습니다.
A 가 구현되면 밀도가 높거나 과도한 양의 메모리를 소비하게 되므로,
요소는 과도한 양의 메모리를 소비합니다.
다음 상황 중 하나에서는 반복 방법이 권장됩니다.
문제가 충분히 커서 인수분해가 불가능하거나 느려질 수 있습니다.
문제에 불리한 스펙트럼 구조가 있는 경우 효과적인 선조건자가 알려져 있습니다.
연산자는 희소 행렬로 효율적으로 표현될 수 있습니다.
연산자는 빠릅니다 . 즉, 행렬로 구체화된 경우보다 더 복잡하게 적용할 수 있습니다. 특정 빠른 연산자는 조밀한 행렬로 구체화됩니다.
Krylov.jl 의 모든 솔버는 내부 버전을 갖고 있으며 GPU 와 호환되며 모든 부동 소수점 데이터 유형에서 작동합니다.
Krylov는 Julia 패키지 관리자를 통해 설치하고 테스트할 수 있습니다.
줄리아> ] pkg> 크릴로프 추가 pkg> 크릴로프 테스트
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