Coppersmith 小根法（求解小界上复合模量的多项式方程）
主要是处理理论上建立的Coppersmith方法适用方程。如果您知道方程的类型，我们建议使用单变量或线性（而不是启发式）。
首先根据边界选择合适的参数
可选择内部 LLL/BKZ 方法
可选择求解整数方程法
$ git clone https://github.com/kionactf/coppersmith --sync如果您使用 fplll 或 flatter，则需要构建这些包。如果您已经安装了它们，则可以通过将这些安装路径设置为 lll.py 上的 fplll_path 或 flatter_path 来使用它。
或者您可以创建一个 docker 镜像。它基于 sagemath/sagemath: 最新镜像，还下载了知名的点阵库。 （如果您知道其他好的库，请告诉我们包括这些库。）
$ docker build -t coppersmith .
$ docker run --rm -it coppersmith /bin/bash在 Zmod(N)、bounds、beta 上使用 Sagemath PolynomialRing 调用 Coppersmith_onevariable.coppersmith_onevariable 或 Coppersmith_linear.coppersmith_linear。
请参阅example.py 。
此外，您可以通过使用 ZZ 上的 Sagemath 矩阵和一些优化参数调用 lll.do_lattice_reduction 来仅使用LLL 。以及用于 CVP 求解器的 lll.babai。
对于integer equations solver ，请使用 rootfind_ZZ.rootfind_ZZ 以及 ZZ 和边界上的 Sagemath 多项式列表。
（该功能于2024年3月8日推出。）
尽管我们根据一些实验设置了内置默认设置，但一些用户表示该设置不适合他们的环境。
因此，我们为lll.py和rootfind_ZZ.py准备一个配置接口context 。
您可以通过导入context来使用它，如下例所示：
from coppersmith_linear import * # including context
from lll import FLATTER
from rootfind_ZZ import JACOBIAN , TRIANGULATE
# use flatter
context . lllopt = { 'algorithm' : FLATTER , 'use_pari_kernel' : True }
# use jacobian method and triangulate in order,
# and for jacobian method set the number of iteration(loop) as 32 (much less comparing the default value 1024)
context . rootfindZZopt = { 'algorithm' :( JACOBIAN , TRIANGULATE ), 'maxiternum' : 32 }
# debug output enable
logger . setLevel ( DEBUG )
P = PolynomialRing (...)
f = ...
beta = ...
bounds = [...]
coppersmith_linear ( f , bounds , beta )您可以在contextclass.py的register_options_lll和register_options_rootfind_ZZ中检查选项列表及其默认值。
为了计算 LLL，我们使用 pari.matker 来消除定义晶格的线性相关向量。该过程需要使用扁平化。尽管 pari.matker 速度很快并且在许多情况下输出正确的结果，但有时会输出wrong结果。 （您可以通过运行 lll.test() 来检查这一点。）您可以通过设置选项use_pari_kernel=False来禁用 pari.matker ，它强制使用 Sagemath 内核（在内部运行计算 Hermite 范式 (HNF)。）请注意，HNF 往往会产生较大的元素，因此它会导致 LLL 过程变得非常慢。
请参阅为什么我们无法解决时间恐惧症……更多关于 Coppersmith 方法的分析。 （不过，这可能是一篇旧文章。）
Coppersmith小根法是求下列类型方程的根：
封装函数需要以下参数。
用于确定
例如，
问：你能用包求解多个模多元多项式系统吗？
答：也许不会。创建通用模多元多项式求解器似乎很困难。它取决于单项式（例如 [ vs [ vs [ vs [
特别是，我们不建议在不了解多项式的情况下使用启发式方法。启发式方法不会估计边界条件（与单变量情况或线性情况不同），因此您可能会感到困惑，因为求解器没有按照您的预期输出。
或者，您可以使用线性化策略和/或直接应用 rootfind_ZZ。例如，如果你想解决
请注意，rootfind_ZZ 不一定找到所有根，而只能找到少数根。在整数上查找根并不容易，因此您不应该将该包用于包含多个根的系统。您可以设计一些方法来避免多重根。某些方法可能通过转换变量来缩小边界范围。一些 rootfind_ZZ 内部函数假设根存在于边界附近。
该软件包一定不是完美的，我们希望您对此进行审查和改进。欢迎发布任何问题、拉取请求和分叉。并让我们了解来自任何 CTF 或其他资源的test cases 。失败的测试用例可能会让我们改进包。
我们的一些代码基于以下库。
多元铜匠方法： coppersmith.sage
多元铜匠方法： lbc_toolkit/problems/small_roots.sage 。整数多项式根的一些求解器位于lbc_toolkit/common/systems_solvers.sage 。
各种铜匠方法（包括 Herrmann-May、Blomer-May、Boneh-Durfee、Jochemsz-May 等）： shared/small_roots/*.py 。整数多项式根的一些求解器位于shared/small_roots/__init__.py 。
jvdsn/crypto-attacks 分布在：
麻省理工学院许可证 (https://github.com/jvdsn/crypto-attacks/blob/master/LICENSE)
(c) 2020 约阿希姆·范德斯米森。
该库根据 Apache 2.0 许可证分发。请参阅许可证。
(C) 2023 基奥纳
https://github.com/kionactf/coppersmith
对于重新分发，只需说它已更改并记下我们文件的链接即可。
