Krylov.jl

Krylov.jl ：Julia 精心挑選的 Krylov 方法的籃子

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書目詞典

@article{montoison-orban-2023,
  author  = {Montoison, Alexis and Orban, Dominique},
  title   = {{ Krylov.jl : A Julia basket of hand-picked Krylov methods}},
  journal = {Journal of Open Source Software},
  volume  = {8},
  number  = {89},
  pages   = {5187},
  year    = {2023},
  doi     = {10.21105/joss.05187}
}

內容

該套件提供了某些最有用的 Krylov 方法的實現，可解決各種問題：

1. 正方形或矩形滿秩系統

軸=b

當b位於A的範圍空間內時應求解。這種情況發生時

• A是平方且非奇異，

• A很高且具有完整的列排名，且b位於A的範圍內。

2. 線性最小平方法問題

最小化 ‖ b - Ax ‖

當b不在A的範圍內（不一致系統）時，無論A的形狀和秩如何，都應該求解。這種情況主要發生在

• A是平方且是奇異的，

• A又高又瘦。

欠定係統較不常見，但也有發生。

如果有無限多個這樣的x （因為A是列秩不足的），則確定一個具有最小範數的 x

最小化 ‖ x ‖ 且滿足x ∈ argmin ‖ b - Ax ‖。

3. 線性最小範數問題

最小化 ‖ x ‖ 且滿足Ax = b

當A是列秩不足但b在A的範圍內（一致系統）時應該解決，無論A的形狀如何。這種情況主要發生在

• A是平方且是奇異的，

• A又短又寬。

超定係統較不常見，但也有發生。

4. 伴隨系統

Ax = b且Aᴴy = c

其中A可以有任意形狀。

5. 鞍點和埃爾米特準定係統

[ M A ] [ x ] = [ b ]
[ Aᴴ -N ] [ y ] [ c ]

其中A可以有任意形狀。

6. 廣義鞍點和非埃爾米特分區系統

[ M A ] [ x ] = [ b ]
[ BN ] [ y ] [ c ]

其中A可以有任何形狀，而B具有Aᴴ的形狀。 A 、 B 、 b和c必須全部非零。

Krylov 解算器特別適用於必須求解此類問題但無法進行因式分解的情況，原因如下：

• A不明確可用，

• 如果 A 被具體化，它會很密集或會消耗過多的內存，

• 因素會消耗過多的記憶體。

在以下任一情況下，建議使用迭代方法：

• 問題夠大，分解不可行或會很慢，

• 在問題具有不利譜結構的情況下，已知有效的預處理器，

• 此運算符可以有效地表示為稀疏矩陣，

• 此運算符速度很快，即，與將其具體化為矩陣相比，可以以更好的複雜性來應用。某些快速算子將具體化為稠密矩陣。

特徵

Krylov.jl中的所有求解器都有就地版本，與GPU相容並可在任何浮點資料類型下運作。

如何安裝

Krylov 可以透過 Julia 套件管理器安裝和測試：

茱莉亞>]
pkg> 加入克雷洛夫
pkg> 測試克雷洛夫

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