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msolve

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v0.7.3

下載

MSOLVE：多元多項式系統解算器

文件

https://msolve.lip6.fr/

msolve是一個開源 C 函式庫，實作用於求解多項式系統（具有有理係數或素數域中的係數）的電腦代數演算法。

目前，使用msolve基本上可以求解多元多項式系統。這包括：

Groebner 基的計算
多項式系統解的實根隔離
解集的維數和度數的計算以及使用 msolve 可以執行的許多其他操作。

此處提供了教程

msolve 的一些功能已經在電腦代數系統 Oscar 和 SageMath 中可用。有關此內容的更多信息，請參閱下文。

安裝說明

請參閱安裝檔。

輸入檔格式

教程中提供了更多資訊（請參閱 https://msolve.lip6.fr）

msolve輸入檔需要採用以下格式：

第一行：變數作為逗號分隔列表，例如x1,x2,x3,x4,y1,y2 。
第二行：場特徵，例如0 。
以下幾行：產生多項式，除了最後一個之外的所有多項式都需要以,終止，例如

 x1,x2,x3,x4,y1,y2
101
x1+x2+x3+x4,
2*y1-145*y2

多項式可以是多行的， ,可以作為分隔符號。

係數可以是有理數，使用/ ，例如-2/3*x2*y1^2+... 。

基本用法

一些基本指令如下：

 ./msolve -f in.ms -o out.ms

將要：

偵測輸入系統的維度是否至多為 0
當系統維數至多為 0 且係數為有理數時， msolve將隔離實數解
當系統的維數至多為 0 且係數位於質數域時， msolve將計算解的參數化

所有輸出資料都顯示在檔案out.ms中

-v標誌可讓您控制詳細程度，從而深入了解msolve正在做什麼。試試這個。

 ./msolve -v 2 -f in.ms -o out.ms

計算 Groebner 基

當基域是有理數域或質數域（特徵應小於 2^31）時， msolve計算 Groebner 基。

以下命令

 ./msolve -g 1 -f in.ms -o out.ms

將計算輸入系統產生的理想值的簡化 Groebner 基底的主要單項式（以in.ms為單位），用於所謂的分級反向字典排序。這允許您推導出輸入多項式（在基域的代數閉包中）的解集的維數以及它們產生的理想的次數。

使用-g 2標誌如下

 ./msolve -g 2 -f in.ms -o out.ms

將傳回分級反向字典排序的簡化 Groebner 基礎。

由於-e標誌， msolve還允許您使用單塊消除單項式順序執行 Groebner 基底計算。以下命令

 ./msolve -e 1 -g 2 -f in.ms -o out.ms

將執行 Groebner 基礎計算，消除第一個變數。更一般地，使用-ek將消除前k個變數。

求解實數

當輸入多項式系統具有有理係數並且具有有限多個複數解時，預設情況下， msolve將計算輸入系統的實數解。這些都是用隔離框編碼的，用於所有實際解決方案的所有座標。

例如，在輸入檔in.ms上如下

 x, y
0
x^2+y^2-4,
x*y-1

呼叫./msolve -f in.ms -o out.ms將在檔案out.ms中顯示以下輸出

 [0, [1,
[[[-41011514734338452707966945920 / 2^96, -41011514734338452707966945917 / 2^96], [-153057056683910732545430822374 / 2^96, -153057056683910732545430822373 / 2^96]], 
[[-612228226735642930181723289497 / 2^98, -612228226735642930181723289492 / 2^98], [-164046058937353810831867783675 / 2^98, -164046058937353810831867783674 / 2^98]], 
[[612228226735642930181723289492 / 2^98, 612228226735642930181723289497 / 2^98], [164046058937353810831867783674 / 2^98, 164046058937353810831867783675 / 2^98]], 
[[41011514734338452707966945917 / 2^96, 41011514734338452707966945920 / 2^96], [153057056683910732545430822373 / 2^96, 153057056683910732545430822374 / 2^96]]]
]]:

這是 4 個精確根的 4 個隔離框，其數值近似值為(-0.5176380902, -1.931851653) 、 (-1.931851653, -0.5176380902) 、 (1.931851653, 0.5176380902) , (0.5176380902, 1.931851653) 。

多執行緒

msolve的多個元件透過多執行緒並行化。打字

 ./msolve -t 4 -f in.ms -o out.ms

告訴msolve使用 4 個執行緒。 msolve中的多執行緒用於

Groebner 使用的線性代數演算法是基於素數域的計算
用於求解實數的多模計算（所有中間和獨立素數計算都是並行運行的）
實根隔離演算法。

代數求解中的`msolve`

AlgebraicSolving 是一個 Julia 包，它包裝了msolve並提供了更多功能，例如計算有理解。請參閱此處以了解更多資訊和文件。

`msolve`奧斯卡

Oscar 中使用msolve來求解具有有理係數的多項式系統。

它將檢測輸入系統是否具有有限多個複雜解，在這種情況下，它將輸出解集的合理參數化以及輸入系統的真實解（請參閱此處的msolve教程）。

你可以看看這個和 Oscar 的文檔。

以下是如何使用它。

 julia> R,(x1,x2,x3) = PolynomialRing(QQ, ["x1","x2","x3"])
(Multivariate Polynomial Ring in x1, x2, x3 over Rational Field, fmpq_mpoly[x1, x2, x3])
julia> I = ideal(R, [x1+2*x2+2*x3-1, x1^2+2*x2^2+2*x3^2-x1, 2*x1*x2+2*x2*x3-x2])
ideal(x1 + 2*x2 + 2*x3 - 1, x1^2 - x1 + 2*x2^2 + 2*x3^2, 2*x1*x2 + 2*x2*x3 - x2)
julia> real_solutions(I)
((84*x^4 - 40*x^3 + x^2 + x, 336*x^3 - 120*x^2 + 2*x + 1, PolyElem[-184*x^3 + 80*x^2 - 4*x - 1, -36*x^3 + 18*x^2 - 2*x], fmpz[-1, -1]), Vector{fmpq}[[744483363399261433351//1180591620717411303424, 372241681699630716673//1180591620717411303424, -154187553040555781639//1180591620717411303424], [1, 0, 0], [71793683196126133110381699745//316912650057057350374175801344, 71793683196126133110381699745//633825300114114700748351602688, 173325283664805084153412401855//633825300114114700748351602688], [196765270119568550571//590295810358705651712, 1//590295810358705651712, 196765270119568550571//590295810358705651712]])

在 SageMath 中`msolve`

安裝msolve後，當您呼叫Variety函數來求解具有實數係數的多項式系統時，SageMath 會使用它。

你可以看看這裡和這裡

我們感謝 Marc Mezzarobba 發起在 SageMath 中使用msolve以及 SageMath 的整個開發團隊，特別是參與此票證的人員

引用`msolve`

如果您在準備某些論文時使用過msolve ，我們非常感謝您按如下方式引用它：

 msolve: A Library for Solving Polynomial Systems, 
J. Berthomieu, C. Eder, M. Safey El Din, Proceedings of the  
46th International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC), 
pp. 51-58, ACM, 2021.

或者，如果您使用 BibTeX 條目：

 @inproceedings{msolve,
  TITLE = {{msolve: A Library for Solving Polynomial Systems}},
  AUTHOR = {Berthomieu, J{'e}r{'e}my and Eder, Christian and {Safey El Din}, Mohab},
  BOOKTITLE = {{2021 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation}},
  ADDRESS = {Saint Petersburg, Russia},
  SERIES = {46th International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation},
  PAGES     = {51--58},
  PUBLISHER = {{ACM}},  
  YEAR = {2021},
  MONTH = Jul,
  DOI = {10.1145/3452143.3465545},
  PDF = {https://hal.sorbonne-universite.fr/hal-03191666v2/file/main.pdf},
  HAL_ID = {hal-03191666},
  HAL_VERSION = {v2},
}

該論文可以在這裡下載。