Lanczos Algorithm

以下存储库包含标准Lanczos算法的实现。

安装

要亲自使用算法， git clone到本地机器上。然后，在克隆的目录中，通过运行来初始化conda环境

 conda env create --file environment.yml

从那里，您可以像这样激活环境

 conda activate LanczosAlgo

并在src/lanczos.ipynb中运行笔记本。

介绍

Lanczos算法是Cornelius Lanczos设计的直接算法，它是能力方法的改编 $ m $ “最有用”（倾向于最高/最低/最低）特征值和特征向量 $ n times n $ Hermitian Matrix，哪里 $ m $通常但不一定比 $ n $ 。

算法

该算法进行如下：

1. 给出了一个隐士矩阵 $ a $大小 $ n times n $和一个任意矢量 $ v_1 $使用Euclidean Norm 1，指定默认数量的函数调用数量 $ m = n $
2. 让 $ W_1'$ = $ av_1 $
3. 让 $ alpha_1 = W_1'^* V_1 $
4. 让 $ W_1 = W_1'^* - Alpha_1 V_1 $

我们将步骤2-4称为第一个迭代步骤。随后，

5. 让 $ beta_j = || w_ {j-1} || $
6. 如果 $ beta_j neq0 $ ， 让 $ v_j = frac {w_ {j-1}}} { beta_j} $ 。否则，让 $ v_j $成为与欧几里得规范1的任意向量 $ v_1，...，v_ {j-1} $
7. 让 $ w_j'= av_j $
8. 让 $ alpha_j = w_j'v_j $
9. 让 $ w_j = w_j' - alpha_j v_j- beta_j v_ v_ {j-1} $

在哪里 $ J $表示迭代编号，必须满足 $ 2 leq j leq m $ 。最后，输出是一个三角体的矩阵 $ t $和 $ alpha_1，...， alpha_m $沿着主角和 $ beta_2，...， beta_m $沿着超级和分支。

未来的工作

目前正在进行努力扩展算法以包括散射状态系统。如果您想在直播的时候被通知，如果您想被通知！